Numeros reales

Introducción a la Geometría de los conjuntos N, Z, Q , I y R.

Dos de las actividades que el ser humano ha tenido que realizar desde siempre son el  contar y medir.

Contar objetos como frutos, animales y mas adelante números, entre otras cosas. Medir longitudes, tiempo, área volumen, en fin...

Hablando del conteo estaremos asociando para cada colección de objetos, un numero; este numero resolvería la pregunta de ¿Cuantos objetos tiene cada colección?

Es decir si tubieramos una colección de siete objetos el numero correspondiente seria 7, 49 seria el numero para una colección de cuarenta y nueve objetos.

Sabemos ahora, que para llevar a cabo nuestro proceso de contar hacemos uso de un conjunto de números que son: 1,2,3,4,5,6,7,8,9... (y así sucesivamente)

A este conjunto de números lo denominamos Numero Naturales y lo denotamos con N.

Puesto que los números naturales se utilizan para contar elementos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del área de la ciencia, el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas:

• Definición sin el cero:

ℕ = {1, 2, 3 ,4, ...}

• Definición con el cero:

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Nótese que  cada numero natural a excepción del 1 es igual al natural anterior mas 1:
ℕ = {1, 2, 3 ,4, ...,n-1, n, n+1, n+2, n+3, n+4,...}

Por lo que se refiere a medición el primer paso que llevaremos a cabo para afrontar dicha tarea es simplemente reducirla a la tarea de contar, de la cual ya hablamos.

Para comenzar elegimos una unidad de medida (segundo, kilogramo, gramo, metro, etc...) a la cual le asignaremos la medida 1, después se contara el numero de veces que dicha unidad queda contenida en la cantidad que se desea medir.

En base a al discusión anterior nótese que entre el cero y el natural hay n unidades de separación, es decir, la distancia que separa al numero n del 0 es de n unidades.

Para cada numero natural n se define el numero (-n) el cual se ubica a la izquierda del cero, pero a la misma distancia a la que se encuentra n. Al numero (-n) se le denomina el simétrico de n y viceversa.

Se obtiene así el conjunto de números:

El cual se denomina Números Enteros y se denota por Z osea que:

Z = {-n,...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ,4, ...n}

Observamos así, que todos los numero naturales están contenidos en los números enteros, por lo que los números naturales también son denominados enteros positivos.

En ocasiones la cantidad que se quiere medir puede no contener un numero exacto de veces la unidad elegida, cuando esto sucede tenemos que considerar partes de la unidad (subunidades) .
En general para hacer mas preciso el proceso de medir se divide a la unidad 1 en cierto numero "n" de partes iguales que dando todas con una medida igual a 1/n.

La unidad ampliada y subdividida se vería así: 

Y si una cantidad contiene exactamente un numero m, de estas subpartes, se dice que tiene una medida igual a m/n. A este conjunto de números se le denomina Números racionales y se denota por Q. 
Se define formalmente a los números racionales, asi:

Q= {r/r= m/n con m y n enteros, y ademas n ≠ 0}
Q= {r/r= m/n con m, n enteros, y ademas n ≠ 0}

Nótese aquí, que no se permite que el denominador n, en la fraccion m/n se a cero. Es decir no se permite dividir por cero. 
No es difícil ver que cualquier numero entero m puede considerarse como la rozan m/1 que es un numero racional, en otras palabras todos los números enteros son números racionales. 
Ejemplo de números racionales: 1/4,  2, 5/8, 12/27, 8, 1.025.

Se construye así un conjunto de números mas grandes que los anteriores, ya que "todos los números naturales son enteros", "todos los enteros son racionales" y por lo tanto "todos los naturales también son racionales"

Durante mucho tiempo se tubo la creencia que "todo punto en la recta tenia asociado un numero racional". Es decir que el conjunto de números racionales llenaba la recta numérica. Por esto se afirmaba que, en la recta no había mas números que los racionales, y debido a esto "la longitud de cualquier segmento de recta tenia como medida un numero racional.

Sin embargo, posteriormente se encontró que si se toma un triangulo rectángulo con catetos de longitud igual a 1, su hipotenusa mide √2.

 Y se demostró que √2 no era un numero racional, pero si tenia asociado un punto en la recta entre 1 y 2.

Fue a raíz de este hallazgo que se encontró infinidad de puntos de la recta que no tienen asociado un numero racional. Tales puntos tienen asociados números como: √2, √3, √5, π,-√2, -√3, -√5,-π entre muchos otros.

Bien, si se considera que la recta esta llena de puntos (pues es una linea continua que no tiene huecos), y que cada punto tiene asociado un numero (que es la medida del segmento de recta, del cero al punto), entonces, en la recta tenemos números que son racionales, pero, también numero que no son racionales. A estos últimos se les denomina Números irracionales  y se les denota por I.

Queda claro que ningún numero racional es irracional y también que ninguno irracional es racional pues son dos conjuntos totalmente ajenos entre si.

También queda claro que si al conjunto de los racionales Q lo unimos al de los irracionales I, se obtiene un conjunto de números que llenan por completo la recta; es decir que no deja huecos en ella.

Al conjunto de números obtenidos de la unión de los Racionales  e Irracionales, se le denomina conjunto de los Números Reales  y se denota por R. De aquí se desprende que todo numero racional  es real y también, todo irracional es real.

Por estar la recta "saturada" con los números reales, se denomina "recta real" o simplemente recta numérica.