Axiomas de campo y Postulados de orden.

Axiomas de campo.

Se dice que el conjunto de los números reales en un campo ordenado debido a que cumple con los axiomas de campo  y con los postulados de orden.

Se hace mención de éstos a continuación :

A) Axiomas de campo para la suma.
sean a y b E R, la suma entre ellos se define como a+b, donde a y b son los sumandos.

1) Cerradura: La suma de dos números reales es también un numero real.
2) Conmutativa: La suma es conmutativa es decir   a+b = b+a.
3) Asociativa: La suma es asociativa   a +(b+c) = (a+b)+c.  
4) Elemento neutro: Existe el numero real 0 tal que 0+r = r.
5) Elemento simétrico: Para cada r E R existe su simétrico r E R, tal que r + (-r) = 0


 B) Axiomas de campo para el producto.


1) Cerradura: La producto de dos números reales es también un numero real.
2) Conmutativa: El producto es conmutativo es decir   ab = ba.
3) Asociativa: El producto es asociativo a (bc) = (ab) c
4) Elemento identidad: Existe el real 1 tal que r(1) = r para cualquier real r.
5) Elemento reciproco o neutro del producto: Para cada real r ≠ 0  existe su reciproco r^-1 = 1/r tal que r(r^-1) = 1

C) Para la suma y el producto.

1) Distributiva: Para cualquier a,b y c E R se cumple que a (b+c) = ab + ac

Postulados de orden.

Los postulados de orden son dos y se pueden expresar de la siguiente manera:

1) Postulado de la Tricotomía: Si r es numero real, entonces una y solo una de las proposiciones siguientes es verdadera.

  r es positivo        ;      r=0        o          r es negativo.

2) Postulado de la cerradura de  R⁺ si a y b son reales positivos, entonces a + b y ab son reales positivos.

  Ahora bien si a y b son numeros reales, se dice que a es mayor que b : a>b si y solo si (<=>) a-b es un real positivo. Por lo anterior de deduce que b es menor que a b<a.

En general para cualquier par de números reales a y b:

a)              a>b      <=>     a-b E R+

b)              a=b      <=>    a-b = 0

c)              a<b      <=>    a-b E R^-

Ejemplo: Considérese a los números 7 y 5.

observa que 7-5=2, 2 es un numero real positivo, por lo que 7>5, o bien 5<7.
Con siderando nuevamente la recta numerica, ubicamos a los reales positivos a la derecha del cero  y a los reales negativos a la izquierda de este.

Si a y b son reales,m entonces se dice que "a es mayor que b" (a>b)  si y solo si en la recta numérica, a se encuentra a la derecha de b.