Propiedades Algebraicas de los reales

Los axiomas y postulados que vimos anteriormente, son la base para demostrar una cantidad grande de resultados conocidos como "propiedades algebraicas de los reales" cuyo conocimiento es importante para el proceso de introducción al álgebra.

Tenemos asi:
a) El producto de dos reales positivos es positivo (postulado 2)
b) El producto de dos reales negativos es positivo
c) El producto de un real positivo por uno negativo es negativo
d) El producto de un real por cero es cero.
e) El simétrico del simétrico de un real es el real mismo: -(-r) = r

Valor absoluto de un numero real.

Según el axioma 4, para cada numero real r, existe su simétrico -r, tal que r+ (-r) = 0. Geométricamente, esto significa que r y -r se encuentran a igual distancia del cero, pero en sentidos opuestos.
Por ejemplo:
La distancia del -3 al cero es igual a 3 unidades, asi mismo la distancia del 3 al cero es de 3 unidades.
Tenemos claro, pues, que la distancia del 0 al cero es de 0 unidades

A la distancia del numero real r al cero se le denomina valor absoluto de r y se denota por  ǀrǀ (el real entre barras).

Utilizando esta notacion en el ejemplo anterior tendremos:

La distancia del -3 al cero es igual a ǀ-3ǀ = 3, así mismo la distancia del 3 al cero es de  ǀ3ǀ = 3
y  la distancia del 0 al cero es de  ǀ0ǀ = 0.

Nótese que por ser el valor absoluto de un numero real igual a una distancia, el resultado nunca es negativo; es decir, siempre es positivo y solo es cero en el caso particular de que dicho real sea cero.

Ejemplos:
ǀ-25ǀ = 25 ;  ǀ108ǀ = 108  ;  ǀ-23/4ǀ = 23/4  ;  ǀ1/100ǀ = 1/100